포탈은 중력을 굴절시켜야만 한다

이 영상은 게임 '포탈'의 세계관에서 중력이 어떻게 작용해야 물리 법칙을 위배하지 않는지 탐구하며, 수학적 시뮬레이션을 통해 포탈을 통과하는 중력의 순간이동 모델을 제시합니다.

나이브 중력의 모순

• 포탈 게임 사용자는 물체가 무한히 떨어지는 구성을 자주 만듭니다.
• 일반적인 생각인 나이브 중력은 모든 지점에서 중력이 단순히 아래를 향한다고 가정합니다.
• 이 가정하에 포탈 사이에 물이나 물체를 두면 무한한 에너지를 얻는 영구 기관이 가능해집니다.
• 하지만 실제 물리 법칙에서는 포탈이 중력 자체를 굴절시키거나 순간이동시켜야 합니다.

포탈 공리 (Portal Axiom)

• 포탈은 단순히 지점 간의 이동이 아니라 공간 자체를 접는 현상입니다.
• 웜홀과 유사하게 고차원 공간에서 서로 다른 두 지점을 가깝게 연결합니다.
• 핵심 공리: 포탈의 동작은 순간이동 표면의 모양에 의존하지 않아야 합니다.
• 나이브 중력은 이 공리를 위반하며, 포탈 표면이 평면인지 반원인지에 따라 물체의 낙하 궤적이 달라지는 결과를 초래합니다.

첫 번째 모델: 중력자 (Gravitons)

• 중력을 전달하는 입자인 중력자가 모든 방향으로 방출된다고 가정합니다.
• 중력자가 포탈을 통과하여 순간이동하는 방식입니다.
• 이 모델은 포탈 뒤쪽에 날카로운 중력 그림자를 생성합니다.
• 물체가 포탈 경계를 지날 때 중력이 갑자기 변하는 불연속성이 발생하여 모델을 폐기합니다.

수학적 모델: 중력 전위와 포아송 방정식

• 중력 가속도를 나타내는 기호 $g$를 사용합니다.
• 중력 전위(Gravitational potential) 기호 $\phi$를 도입합니다.
• 중력 전위는 각 지점의 단위 질량당 위치 에너지를 의미합니다.
• 중력은 항상 전위가 낮아지는 방향으로 작용하며, 지형에서 공이 아래로 굴러가는 것과 비슷합니다.
• 포아송 방정식: 질량 밀도 $\rho$와 중력 전위 $\phi$의 관계를 설명하는 미분 방정식입니다.
• 이 방정식은 거리 개념 없이 인접한 지점들의 관계만으로 중력을 계산할 수 있게 해줍니다.

유한 요소법 (Finite Element Method)을 이용한 시뮬레이션

• 컴퓨터는 무한한 지점을 계산할 수 없으므로 공간을 유한한 요소로 나눕니다.
• 영상에서는 공간을 수많은 삼각형(152개에서 200만 개 이상) 으로 분할하는 이산화 과정을 거칩니다.
• 갈레르킨 방법을 사용하여 미분 방정식을 거대한 선형 연립 방정식 시스템으로 변환합니다.
• 포탈 구현 방식: 포탈의 양쪽 경계에 있는 노드들의 인덱스를 서로 재배치하여 공간이 연결된 것처럼 처리합니다.
• 이를 통해 포탈 주변에서 중력이 어떻게 왜곡되는지 시뮬레이션합니다.

주요 실험 및 결과

• 수직 포탈 실험:
  • 위아래로 배치된 포탈 사이에서 중력 전위는 에너지 보존을 만족하도록 재구성됩니다.
  • 물체는 무한히 가속되지 않고 진자 운동처럼 속도가 빨라졌다 느려지기를 반복합니다.
  • 결론적으로 영구 기관은 불가능하며 물리 법칙이 유지됩니다.
• 포탈 가장자리 특성:
  • 포탈의 가장자리 끝부분에서는 중력이 무한대에 가깝게 강해집니다.
  • 이 지점은 물체를 절단할 수 있는 날카로운 특성을 가집니다.
• 높이가 다른 포탈:
  • 두 포탈의 높이 차이가 발생하면 주변 중력장에 큰 왜곡이 일어납니다.
  • 높은 곳에 위치한 포탈은 물체를 빨아들이고, 낮은 곳의 포탈은 물체를 밀어내는 경향을 보입니다.
• 포탈 크기와 영향력:
  • 2D 시뮬레이션 결과 포탈이 아주 작아져도 중력장에 미치는 영향력은 여전히 강하게 유지됩니다.
  • 이는 3D 환경에서의 결과와 차이가 있을 수 있음을 시사합니다.

가장 논쟁적인 물리 질문: A안 vs B안

• 움직이는 피스톤 포탈이 정지된 큐브를 덮칠 때의 결과입니다.
• A안: 큐브가 포탈 밖으로 툭 떨어짐 (속도 없음).
• B안: 큐브가 포탈 밖으로 발사됨 (상대 속도 유지).
• 시뮬레이션 결과:
  • 평면 포탈의 경우 B안처럼 물체가 발사됩니다.
  • 반원 모양의 포탈인 경우 중력 순간이동 효과에 의해 물체가 미끄러지듯 떨어지는 A안과 유사한 결과가 나옵니다.
  • 결국 정답은 포탈의 표면 모양과 피스톤의 속도에 따라 달라질 수 있습니다.

외부 연구 사례 및 결론

• Zeno Rogue: 중력 전위를 기반으로 포탈 내 중력 분포를 연구하여 동일한 시뮬레이션 결과를 얻었습니다.
• Greg Egan: 하드 SF 작가로 포탈이 연결된 공간에서의 중력을 3D로 계산하는 논문을 작성했습니다.
• AndrewGlez: 양자 중력 연구자로 가속하는 포탈이 자체 중력장과 중력파를 생성해야 함을 수학적으로 증명했습니다.
• 포탈 물리학은 여전히 발전 중인 분야이며, 2D 시뮬레이션의 한계를 넘어 3D 모델에 대한 추가 검증이 필요합니다.