탐구와 깨달음 : 불완전한 정육면체

이 영상은 현대 미술가 솔 르윗의 작품 '불완전한 열린 정육면체의 변형'을 통해 예술적 창의성과 수학적 탐구가 어떻게 만나는지 탐구합니다. 정육면체의 모서리를 제거하며 발생하는 수많은 조합을 분류하고 체계화하는 과정을 수학적 원리인 번사이드 보조정리를 활용하여 심도 있게 분석합니다.

• 솔 르윗의 예술 철학

  • 개념 예술: 예술가의 손보다는 마음의 산물을 더 중요하게 여깁니다. 아이디어가 예술을 만드는 기계가 된다고 주장합니다.
  • 벽 드로잉 118번: 예술가는 지시 사항만 제공하고 실제 작업은 설치 전문가들이 수행하는 방식입니다. 이는 음악가가 악보를 쓰고 연주자가 연주하는 관계와 유사합니다.
  • 미니멀리즘: 장식을 최소화합니다. 흰색은 검은색보다 표현력이 적다는 이유로 선호하며 정육면체를 가장 흥미롭지 않고 기본적인 도구로 간주합니다.
  • 연속 예술: 모든 계획과 결정은 미리 내려지며 실행은 부수적인 절차일 뿐입니다. 임의성을 배제하고 논리적인 체계를 추구합니다.

• 불완전한 열린 정육면체의 문제 정의

  • 정육면체는 12개의 모서리로 구성됩니다. 이 중 일부를 제거하여 변형을 만듭니다.
  • 제약 조건 1: 남아있는 모서리들은 반드시 모두 연결되어야 합니다. 조각이 떨어져 나가면 안 됩니다.
  • 제약 조건 2: 결과물은 반드시 3차원적이어야 합니다. 평면적인 사각형이나 단일 선분은 제외합니다.
  • 제약 조건 3: 회전했을 때 같은 모양이 되는 경우 하나로 간주합니다. 이를 회전 동등성이라고 합니다.

• 솔 르윗의 해결 과정

  • 솔 르윗은 수학적 공식을 사용하는 대신 경험적 방법을 선택했습니다.
  • 종이 클립이나 파이프 클리너로 작은 모델을 직접 만들어 보며 회전시켜 중복을 확인했습니다.
  • 약 50페이지의 노트를 남겼으며 중복된 발견은 붉은 표시로 지워나갔습니다.
  • 나중에 두 명의 수학자에게 자문을 구하여 자신의 계산이 맞는지 확인받았습니다.

• 수학적 탐구와 단순화: 2차원 정사각형 사례

  • 문제를 이해하기 위해 2차원 정사각형으로 범위를 좁힙니다.
  • 정사각형의 4개 모서리마다 켜짐 혹은 꺼짐의 2가지 선택지가 있습니다.
  • 의사 결정 트리를 통해 계산하면 총 2의 4승인 16가지의 가능성이 존재합니다.
  • 이를 회전 동등성에 따라 분류하면 총 6개의 고유한 가족이 생성됩니다.
  • 제약 조건을 적용하면 최종적으로 2개의 유효한 변형만 남습니다.

• 정육면체의 수학적 구조

  • 정육면체의 12개 모서리에 대해 켜짐 혹은 꺼짐을 선택하면 총 2의 12승인 4,096개의 조합이 나옵니다.
  • 정육면체는 공간에서 24가지 방식으로 회전할 수 있습니다.
  • 면 중심 축: 3개의 축을 중심으로 90도, 180도, 270도 회전하여 총 9가지 방식이 나옵니다.
  • 꼭짓점 축: 대각선 방향의 4개 축을 중심으로 120도, 240도 회전하여 총 8가지 방식이 나옵니다.
  • 모서리 축: 마주보는 모서리를 잇는 6개 축을 중심으로 180도 회전하여 총 6가지 방식이 나옵니다.
  • 여기에 아무것도 하지 않는 상태 1가지를 더해 총 24가지의 회전 변환이 정의됩니다.

• 가족 크기와 대칭성의 관계

  • 각 불완전한 정육면체는 회전 변환을 통해 만들어지는 가족에 속합니다.
  • 불규칙한 모양은 24개의 고유한 방향을 가져 가족 크기가 24가 됩니다.
  • 대칭적인 모양은 회전해도 원래 모습과 똑같은 닮은꼴을 가집니다.
  • 수학적 법칙: (가족의 크기) 곱하기 (닮은꼴의 수)는 항상 24가 됩니다.
  • 예시로 탁자 모양의 큐브는 4개의 닮은꼴을 가지며 가족 크기는 6이 됩니다.

• 번사이드 보조정리를 활용한 계산

  • 재인덱싱 트릭: 각 큐브마다 가족을 찾는 대신 각 회전 변환에 대해 변하지 않는 큐브의 수를 세는 방식입니다.
  • 0도 회전(아무것도 안 함): 모든 큐브(4,096개)가 변하지 않습니다.
  • 90도 면 회전: 상단, 수직, 하단 모서리 그룹이 각각 같은 상태여야 하므로 2의 3승인 8개의 닮은꼴이 생깁니다.
  • 180도 면 회전: 모서리들이 쌍으로 묶여 2의 6승인 64개의 닮은꼴이 생깁니다.
  • 꼭짓점 회전: 모서리들이 3개씩 4그룹으로 묶여 2의 4승인 16개의 닮은꼴이 생깁니다.
  • 모서리 회전: 2의 7승인 128개의 닮은꼴이 생깁니다.
  • 모든 변환에서의 닮은꼴 합계는 5,232개이며 이를 24로 나누면 최종적으로 218개의 고유한 가족이 도출됩니다.

• 거울 이미지와 카이랄성

  • 솔 르윗은 탐구 과정에서 거울에 비친 모습이 회전으로는 결코 같아질 수 없는 경우가 있음을 깨달았습니다.
  • 이를 통해 자신의 목록에 빠진 것들이 있음을 인지하고 목록을 비약적으로 확장했습니다.
  • 이러한 깨달음은 점진적인 발견이 아니라 어느 한순간의 직관적인 섬광처럼 찾아왔습니다.

• 작품의 최종 형태와 결함의 미학

  • 솔 르윗은 122개의 변형을 확정하고 알루미늄 조각, 드로잉, 사진집 등으로 결과물을 남겼습니다.
  • 2014년 캔자스 주립 대학교의 연구에 따르면 솔 르윗의 숫자 122는 수학적으로 정확했습니다.
  • 그러나 실제 조각 작품 중 104번과 105번은 서로 중복된 형태였으며 원래 있어야 할 하나는 누락되었습니다.
  • 이러한 미세한 오류는 완벽함보다는 인간적인 사고의 과정을 보여주는 예술적 요소로 평가받습니다.